当x趋近于0时，求下列函数的极限：

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}}$$

解答：

我们可以利用极限的性质来求解这个问题。首先，我们将函数中的分子展开为泰勒级数（泰勒展开）：

$$\sin(3x) = 3x - \frac{{(3x)^3}}{{3!}} + \frac{{(3x)^5}}{{5!}} - \ldots$$

将展开后的式子代入原函数，得到：

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{3x - \frac{{(3x)^3}}{{3!}} + \frac{{(3x)^5}}{{5!}} - \ldots}}{{2x}}$$

对于分子部分，我们可以进行简化，消去$x$的影响，得到：

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{3 - \frac{{(3x)^2}}{{2!}} + \frac{{(3x)^4}}{{4!}} - \ldots}}{{2}}$$

当$x$趋近于0时，$(3x)^n$中的$x$的幂次会越来越小，可以忽略高阶项。因此，我们得到：

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{3}}{{2}}$$

最终，我们得到极限的结果为：

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = \frac{{3}}{{2}}$$

因此，当$x$趋近于0时，给定函数的极限为$\frac{{3}}{{2}}$。